Решить 2x^2-9x+5=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3,850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0,649218941$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -9 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

Прибавьте 81 к -40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{41} из 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-9x=-5$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Деление -\frac{9}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Прибавьте -\frac{5}{2} к \frac{81}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Прибавьте \frac{9}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$