Решить 2x^2-8x-223=0

$$2 x ^ { 2 } - 8 x - 223 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2\approx 12,74709263$$

$$x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2\approx -8,74709263$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-8x-223=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -8 вместо b и -223 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-223\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-223\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-223\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -223.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+1784}}{2\times 2}$$

Прибавьте 64 к 1784.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1848}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 1848.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{462}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{462}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{8±2\sqrt{462}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{8±2\sqrt{462}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 2\sqrt{462}.

$$x=\frac{2\sqrt{462}+8}{4}$$

Разделите 8+2\sqrt{462} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$

Решите уравнение x=\frac{8±2\sqrt{462}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{462} из 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{462}}{4}$$

Разделите 8-2\sqrt{462} на 4.

$$x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-8x-223=0$$

Прибавьте 223 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-8x-223-\left(-223\right)=-\left(-223\right)$$

Если из -223 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-8x=-\left(-223\right)$$

Вычтите -223 из 0.

$$2x^{2}-8x=223$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{223}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{223}{2}$$

Разделите -8 на 2.

$$x^{2}-4x=\frac{223}{2}$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\frac{223}{2}+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=\frac{223}{2}+4$$

Прибавьте \frac{223}{2} к 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{231}{2}$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{231}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{231}{2}}$$

Упростите.

$$x-2=\frac{\sqrt{462}}{2} x-2=-\frac{\sqrt{462}}{2}$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{462}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{462}}{2}+2$$