Решить 2x^2-6x=56

$$2 x ^ { 2 } - 6 x = 56$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 56 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-6x-56=0$$

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-28. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-7 b=4$$

Перепишите x^{2}-3x-28 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+4=0у.

$$x=7 x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-6x=56$$

Вычтите 56 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-6x-56=56-56$$

Если из 56 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-6x-56=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -6 вместо b и -56 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(-56\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(-56\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(-56\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -56.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+448}}{2\times 2}$$

Прибавьте 36 к 448.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{484}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 484.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±22}{2\times 2}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$x=\frac{6±22}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{6±22}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{6±22}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 22.

$$x=\frac{28}{4}$$

Разделите 28 на 4.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{6±22}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 22 из 6.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-6x=56$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=\frac{56}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=\frac{56}{2}$$

Разделите -6 на 2.

$$x^{2}-3x=\frac{56}{2}$$

Разделите 56 на 2.

$$x^{2}-3x=28$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 28 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=-4$$