Решить 2x^2-5x-9=0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 9 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 5}{4} \approx 3,71221445$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}\approx -1,21221445$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -5 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 72.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{97} из 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-5x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$2x^{2}-5x=9$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{9}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{9}{2}$$

Деление -\frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{2}+\frac{25}{16}$$

Прибавьте \frac{9}{2} к \frac{25}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{97}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$