Решить 2x^2-4x-5=7

$$2 x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 7$$

Найдите x

$$x=\sqrt{7}+1\approx 3,645751311$$

$$x=1-\sqrt{7}\approx -1,645751311$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-4x-5=7$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-4x-5-7=7-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-4x-5-7=0$$

Вычтите 7 из -5.

$$2x^{2}-4x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -4 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+96}}{2\times 2}$$

Прибавьте 16 к 96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{112}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{7}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+4}{4}$$

Разделите 4+4\sqrt{7} на 4.

$$x=\sqrt{7}+1$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{7}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{7} из 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{7}}{4}$$

Разделите 4-4\sqrt{7} на 4.

$$x=1-\sqrt{7}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{7}+1 x=1-\sqrt{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-4x-5=7$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=7-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-4x=7-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 7.

$$2x^{2}-4x=12$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{12}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{12}{2}$$

Разделите -4 на 2.

$$x^{2}-2x=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$x^{2}-2x=6$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=6+1$$

Прибавьте 6 к 1.

$$x^{2}-2x+1=7$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=7$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Упростите.

$$x-1=\sqrt{7} x-1=-\sqrt{7}$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{7}+1 x=1-\sqrt{7}$$