Решить 2x^2-4x-30=0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x - 30 = 0$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}-2x-15=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -15 продукта.

$$1,-15 3,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -2.

$$a=-5 b=3$$

Перепишите x^{2}-2x-15 как \left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 3 во второй группе.

$$x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x+3=0.

$$x=5 x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-4x-30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -4 вместо b и -30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -30.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 2}$$

Прибавьте 16 к 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 2}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{4±16}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 16.

$$x=\frac{20}{4}$$

Разделите 20 на 4.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из 4.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Разделите -12 на 4.

$$x=-3$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-4x-30=0$$

Прибавьте 30 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-4x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Если из -30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-4x=-\left(-30\right)$$

Вычтите -30 из 0.

$$2x^{2}-4x=30$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{30}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{30}{2}$$

Разделите -4 на 2.

$$x^{2}-2x=\frac{30}{2}$$

Разделите 30 на 2.

$$x^{2}-2x=15$$

Разделите -2, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -1. Затем добавьте квадрат -1 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Прибавьте 15 к 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Разложите x^{2}-2x+1 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Упростите.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=-3$$