Решить 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 2, b на -4 и c на 1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Решение x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) положительное и x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) отрицательно.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) положительное и x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) отрицательно.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$