Решить 2x^2-3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -10 продукта.

$$1,-10 2,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-5 b=2$$

Перепишите 2x^{2}-3x-5 как \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Вынесите за скобки x в 2x^{2}-5x.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Вынесите за скобки общий член 2x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-5=0 и x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -3 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{3±7}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{3±7}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Разделите -\frac{3}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к \frac{9}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Разложите x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Прибавьте \frac{3}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$