Решить 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-14. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-7 b=4$$

Перепишите 2x^{2}-3x-14 как \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-7=0 и x+2=0у.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -3 вместо b и -14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{3±11}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Привести дробь \frac{14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{3±11}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Разделите -8 на 4.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Прибавьте 14 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Если из -14 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Вычтите -14 из 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Деление -\frac{3}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Прибавьте 7 к \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Прибавьте \frac{3}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$