Решить 2x^2-28x+98=0

$$2 x ^ { 2 } - 28 x + 98 = 0$$

Найдите x

$$x=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+49. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-14 ab=1\times 49=49$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 49.

$$-1,-49 -7,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-49=-50 -7-7=-14$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -14.

$$a=-7 b=-7$$

Перепишите x^{2}-14x+49 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right)$$

Разложите x в первом и -7 в второй группе.

$$x\left(x-7\right)-7\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x-7\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(x-7\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: x-7=0.

$$x=7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -28 вместо b и 98 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Возведите -28 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 98}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 98.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-784}}{2\times 2}$$

Прибавьте 784 к -784.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-28}{2\times 2}$$

Число, противоположное -28, равно 28.

$$x=\frac{28}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{28}{4}$$

Разделите 28 на 4.

$$x=7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

Вычтите 98 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-28x+98-98=-98$$

Если из 98 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-28x=-98$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{98}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{98}{2}$$

Разделите -28 на 2.

$$x^{2}-14x=-\frac{98}{2}$$

Разделите -98 на 2.

$$x^{2}-14x=-49$$

Деление -14, коэффициент x термина, 2 для получения -7. Затем добавьте квадрат -7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-49+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x^{2}-14x+49=-49+49$$

Прибавьте -49 к 49.

$$x^{2}-14x+49=0$$

Коэффициент x^{2}-14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-7=0 x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=7$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=7$$