Решить 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 28 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Вычтите 28 из -12, чтобы получить -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-20. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -20 продукта.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-5 b=4$$

Перепишите x^{2}-x-20 как \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 4 во второй группе.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Вычтите 28 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Если из 28 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Вычтите 28 из -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -2 вместо b и -40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{2±18}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Разделите 20 на 4.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{2±18}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 18 из 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Если из -12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Вычтите -12 из 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Разделите -2 на 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Разделите 40 на 2.

$$x^{2}-x=20$$

Разделите -1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 20 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Разложите x^{2}-x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=-4$$