Решить 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -2 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Разделите 2+2\sqrt{3} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{3} из 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Разделите 2-2\sqrt{3} на 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Разделите -2 на 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$