Решить 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Действия по решению

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Возведите 2x^{2}-10x-6 в квадрат.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Разложите \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Вычислите 11 в степени 2 и получите 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}-5x} в степени 2 и получите x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Чтобы умножить 121 на x^{2}-5x, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Вычтите 121x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Объедините 76x^{2} и -121x^{2}, чтобы получить -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Прибавьте 605x к обеим частям.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Объедините 120x и 605x, чтобы получить 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 36, а q делит старший коэффициент 4. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-4$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 на x+4, чтобы получить 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 9, а q делит старший коэффициент 4. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=9$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 на x-9, чтобы получить 4x^{2}-20x-1. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 4, b на -20 и c на -1.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Решение 4x^{2}-20x-1=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Подставьте -4 вместо x в уравнении 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Упростите. Значение x=-4 удовлетворяет уравнению.

$$72=72$$

Подставьте 9 вместо x в уравнении 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Упростите. Значение x=9 удовлетворяет уравнению.

$$72=72$$

Подставьте \frac{5-\sqrt{26}}{2} вместо x в уравнении 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Упростите. Значение x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} не соответствует уравнению.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Подставьте \frac{\sqrt{26}+5}{2} вместо x в уравнении 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} не соответствует уравнению.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Список всех решений 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$