Решить 2x^2-10x+7=0

$$2 x ^ { 2 } - 10 x + 7 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 5}{2} \approx 4,158312395$$

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}\approx 0,841687605$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -10 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\times 7}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-56}}{2\times 2}$$

Прибавьте 100 к -56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{44}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+10}{4}$$

Разделите 10+2\sqrt{11} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{11}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{11} из 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{11}}{4}$$

Разделите 10-2\sqrt{11} на 4.

$$x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-10x+7=0$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-10x+7-7=-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-10x=-7$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-10x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)x=-\frac{7}{2}$$

Разделите -10 на 2.

$$x^{2}-5x=-\frac{7}{2}$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{7}{2}+\frac{25}{4}$$

Прибавьте -\frac{7}{2} к \frac{25}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{4}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{11}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{11}}{2}$$