Решить 2x^2+x-2=7

$$2 x ^ { 2 } + x - 2 = 7$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{73} - 1}{4} \approx 1,886000936$$

$$x=\frac{-\sqrt{73}-1}{4}\approx -2,386000936$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+x-2=7$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+x-2-7=7-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x-2-7=0$$

Вычтите 7 из -2.

$$2x^{2}+x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 1 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+72}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 72.

$$x=\frac{-1±\sqrt{73}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{73}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{73}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}-1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{73}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{73} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-1}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{73}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{73}-1}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-2=7$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+x-2-\left(-2\right)=7-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x=7-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 7.

$$2x^{2}+x=9$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{9}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{9}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{73}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{73}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{73}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{73}}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{73}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{73}-1}{4}$$