Решить 2x^2+9x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4.608495283$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 9 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

Прибавьте 81 к 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{89} из -9.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$2x^{2}+9x=1$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

Разделите \frac{9}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{9}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{9}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{9}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{81}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Вычтите \frac{9}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$