Решить 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -8 продукта.

$$-1,8 -2,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-1 b=8$$

Перепишите 2x^{2}+7x-4 как \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 4 во второй группе.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 7 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Прибавьте 49 к 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±9}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Привести дробь \frac{2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±9}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Разделите \frac{7}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{7}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Прибавьте 2 к \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Вычтите \frac{7}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$