Решить 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx+5. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 10 продукта.

$$1,10 2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+10=11 2+5=7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=2 b=5$$

Перепишите 2x^{2}+7x+5 как \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Вынесите за скобки 2x в первой и 5 во второй группе.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+1=0 и 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 7 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Прибавьте 49 к -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±3}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x=-1$$

Решите уравнение x=\frac{-7±3}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{-10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Разделите \frac{7}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{7}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Прибавьте -\frac{5}{2} к \frac{49}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Вычтите \frac{7}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$