Решить 2x^2+6x+12=0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x + 12 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1,5-1,936491673i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 6 вместо b и 12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 12}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96}}{2\times 2}$$

Прибавьте 36 к -96.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-60}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -60.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{15}i}{4}$$

Разделите -6+2i\sqrt{15} на 4.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{15} из -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-6}{4}$$

Разделите -6-2i\sqrt{15} на 4.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+6x+12-12=-12$$

Если из 12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+6x=-12$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=-\frac{12}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=-\frac{12}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$x^{2}+3x=-\frac{12}{2}$$

Разделите -12 на 2.

$$x^{2}+3x=-6$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-6+\frac{9}{4}$$

Прибавьте -6 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{15}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$