Решить 2x^2+5x-12=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-12. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -24 продукта.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-3 b=8$$

Перепишите 2x^{2}+5x-12 как \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 4 во второй группе.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-3=0 и x+4=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 5 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±11}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 11.

$$x=\frac{6}{4}$$

Привести дробь \frac{6}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±11}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из -5.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Если из -12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

Вычтите -12 из 0.

$$2x^{2}+5x=12$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Разделите \frac{5}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Прибавьте 6 к \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Вычтите \frac{5}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$