Решить 2x^2+5x=8

$$2 x ^ { 2 } + 5 x = 8$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{89} - 5}{4} \approx 1.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}\approx -3.608495283$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+5x=8$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+5x-8=8-8$$

Если из 8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+5x-8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 5 вместо b и -8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -8.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+64}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 64.

$$x=\frac{-5±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{89}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{89} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x=8$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{8}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{8}{2}$$

Разделите 8 на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=4$$

Разделите \frac{5}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=4+\frac{25}{16}$$

Прибавьте 4 к \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{89}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Вычтите \frac{5}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{89}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-5}{4}$$