Решить 2x^2+4x-96=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 96 = 0$$

Найдите x

$$x=-8$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}+2x-48=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-48. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -48 продукта.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-6 b=8$$

Перепишите x^{2}+2x-48 как \left(x^{2}-6x\right)+\left(8x-48\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(8x-48\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 8 во второй группе.

$$x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и x+8=0.

$$x=6 x=-8$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+4x-96=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 4 вместо b и -96 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -96.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Прибавьте 16 к 768.

$$x=\frac{-4±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 784.

$$x=\frac{-4±28}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-4±28}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±28}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 28.

$$x=\frac{24}{4}$$

Разделите 24 на 4.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{-4±28}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 28 из -4.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Разделите -32 на 4.

$$x=-8$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=-8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x-96=0$$

Прибавьте 96 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+4x-96-\left(-96\right)=-\left(-96\right)$$

Если из -96 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+4x=-\left(-96\right)$$

Вычтите -96 из 0.

$$2x^{2}+4x=96$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{96}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{96}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$x^{2}+2x=\frac{96}{2}$$

Разделите 96 на 2.

$$x^{2}+2x=48$$

Разделите 2, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 1. Затем добавьте квадрат 1 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+2x+1^{2}=48+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x^{2}+2x+1=48+1$$

Прибавьте 48 к 1.

$$x^{2}+2x+1=49$$

Разложите x^{2}+2x+1 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=49$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Упростите.

$$x+1=7 x+1=-7$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x=6 x=-8$$