Решить 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-90. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-12 b=15$$

Перепишите 2x^{2}+3x-90 как \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Разложите 2x в первом и 15 в второй группе.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и 2x+15=0у.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 3 вместо b и -90 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±27}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Разделите 24 на 4.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{-3±27}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 27 из -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Привести дробь \frac{-30}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Прибавьте 90 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Если из -90 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Вычтите -90 из 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Разделите 90 на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Деление \frac{3}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Прибавьте 45 к \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Вычтите \frac{3}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$