Решить 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-20. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -40 продукта.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-5 b=8$$

Перепишите 2x^{2}+3x-20 как \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 4 во второй группе.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-5=0 и x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 3 вместо b и -20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±13}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±13}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Прибавьте 20 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Если из -20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Вычтите -20 из 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Разделите 20 на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Разделите \frac{3}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Прибавьте 10 к \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Вычтите \frac{3}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$