Решить 2x^2+3x-2=63

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 63$$

Найдите x

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 63 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+3x-2-63=0$$

Вычтите 63 из -2, чтобы получить -65.

$$2x^{2}+3x-65=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-65. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=2\left(-65\right)=-130$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -130.

$$-1,130 -2,65 -5,26 -10,13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+130=129 -2+65=63 -5+26=21 -10+13=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-10 b=13$$

Перепишите 2x^{2}+3x-65 как \left(2x^{2}-10x\right)+\left(13x-65\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(13x-65\right)$$

Разложите 2x в первом и 13 в второй группе.

$$2x\left(x-5\right)+13\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(2x+13\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и 2x+13=0у.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+3x-2=63$$

Вычтите 63 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+3x-2-63=63-63$$

Если из 63 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+3x-2-63=0$$

Вычтите 63 из -2.

$$2x^{2}+3x-65=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 3 вместо b и -65 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -65.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+520}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к 520.

$$x=\frac{-3±\sqrt{529}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 529.

$$x=\frac{-3±23}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-3±23}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±23}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 23.

$$x=\frac{20}{4}$$

Разделите 20 на 4.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{-3±23}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 23 из -3.

$$x=-\frac{26}{4}$$

Привести дробь \frac{-26}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-2=63$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=63-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+3x=63-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 63.

$$2x^{2}+3x=65$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{65}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{65}{2}$$

Деление \frac{3}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{65}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{65}{2}+\frac{9}{16}$$

Прибавьте \frac{65}{2} к \frac{9}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{529}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{529}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{23}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{23}{4}$$

Вычтите \frac{3}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$