Решить 2x^2+21x-11=0

$$2 x ^ { 2 } + 21 x - 11 = 0$$

Найдите x

$$x=-11$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-11. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=21 ab=2\left(-11\right)=-22$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -22.

$$-1,22 -2,11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+22=21 -2+11=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 21.

$$a=-1 b=22$$

Перепишите 2x^{2}+21x-11 как \left(2x^{2}-x\right)+\left(22x-11\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(22x-11\right)$$

Разложите x в первом и 11 в второй группе.

$$x\left(2x-1\right)+11\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(x+11\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и x+11=0у.

$$x=\frac{1}{2} x=-11$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+21x-11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 21 вместо b и -11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 21 в квадрат.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-8\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -11.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+88}}{2\times 2}$$

Прибавьте 441 к 88.

$$x=\frac{-21±\sqrt{529}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 529.

$$x=\frac{-21±23}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-21±23}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±23}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -21 к 23.

$$x=\frac{2}{4}$$

Привести дробь \frac{2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±23}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 23 из -21.

$$x=-\frac{44}{4}$$

Разделите -44 на 4.

$$x=-11$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=-11$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+21x-11=0$$

Прибавьте 11 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+21x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Если из -11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+21x=-\left(-11\right)$$

Вычтите -11 из 0.

$$2x^{2}+21x=11$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+21x}{2}=\frac{11}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x=\frac{11}{2}$$

Деление \frac{21}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{21}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{21}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{11}{2}+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{21}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x+\frac{441}{16}=\frac{11}{2}+\frac{441}{16}$$

Прибавьте \frac{11}{2} к \frac{441}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{21}{2}x+\frac{441}{16}=\frac{529}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{21}{2}x+\frac{441}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{529}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{21}{4}=\frac{23}{4} x+\frac{21}{4}=-\frac{23}{4}$$

Вычтите \frac{21}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-11$$