Решить 2x^2+2x-24=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 24 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}+x-12=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-12. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-3 b=4$$

Перепишите x^{2}+x-12 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+4=0у.

$$x=3 x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 2 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к 192.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±14}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 14.

$$x=\frac{12}{4}$$

Разделите 12 на 4.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{-2±14}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из -2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+2x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Если из -24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+2x=-\left(-24\right)$$

Вычтите -24 из 0.

$$2x^{2}+2x=24$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

Разделите 2 на 2.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

Разделите 24 на 2.

$$x^{2}+x=12$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 12 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=3 x=-4$$