Решить 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 2 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Разделите -2+2i на 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i из -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Разделите -2-2i на 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Разделите 2 на 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте -\frac{1}{2} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$