Решить 2x^2+16x-66=0

$$2 x ^ { 2 } + 16 x - 66 = 0$$

Найдите x

$$x=-11$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}+8x-33=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-33. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=8 ab=1\left(-33\right)=-33$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -33.

$$-1,33 -3,11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 8.

$$a=-3 b=11$$

Перепишите x^{2}+8x-33 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(11x-33\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(11x-33\right)$$

Разложите x в первом и 11 в второй группе.

$$x\left(x-3\right)+11\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x+11\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+11=0у.

$$x=3 x=-11$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+16x-66=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 16 вместо b и -66 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 2\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-8\left(-66\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -66.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+528}}{2\times 2}$$

Прибавьте 256 к 528.

$$x=\frac{-16±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 784.

$$x=\frac{-16±28}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-16±28}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±28}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 28.

$$x=\frac{12}{4}$$

Разделите 12 на 4.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{-16±28}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 28 из -16.

$$x=-\frac{44}{4}$$

Разделите -44 на 4.

$$x=-11$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-11$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+16x-66=0$$

Прибавьте 66 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+16x-66-\left(-66\right)=-\left(-66\right)$$

Если из -66 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+16x=-\left(-66\right)$$

Вычтите -66 из 0.

$$2x^{2}+16x=66$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+16x}{2}=\frac{66}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{16}{2}x=\frac{66}{2}$$

Разделите 16 на 2.

$$x^{2}+8x=\frac{66}{2}$$

Разделите 66 на 2.

$$x^{2}+8x=33$$

Деление 8, коэффициент x термина, 2 для получения 4. Затем добавьте квадрат 4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+8x+4^{2}=33+4^{2}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x^{2}+8x+16=33+16$$

Прибавьте 33 к 16.

$$x^{2}+8x+16=49$$

Коэффициент x^{2}+8x+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=49$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Упростите.

$$x+4=7 x+4=-7$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$x=3 x=-11$$