Решить 2x^2+14x-4=-x^2+3x

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте x^{2} к обеим частям.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Объедините 2x^{2} и x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Объедините 14x и -3x, чтобы получить 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=-1 b=12$$

Перепишите 3x^{2}+11x-4 как \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-1=0 и x+4=0у.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Прибавьте x^{2} к обеим частям.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Объедините 2x^{2} и x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Объедините 14x и -3x, чтобы получить 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 11 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

Прибавьте 121 к 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±13}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 13.

$$x=\frac{2}{6}$$

Привести дробь \frac{2}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±13}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -11.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Разделите -24 на 6.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Прибавьте x^{2} к обеим частям.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Объедините 2x^{2} и x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Объедините 14x и -3x, чтобы получить 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$3x^{2}+11x=4$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

Деление \frac{11}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к \frac{121}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Вычтите \frac{11}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$