Решить 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Найдите x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$2x+y=1$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$2x=-y+1$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{-y+1}{2} вместо x в другом уравнении x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Прибавьте -\frac{y}{2} к -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{3}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Умножьте -\frac{1}{2} на 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к -\frac{3}{2}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=3$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-1,y=3$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Чтобы сделать 2x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Упростите.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Вычтите 2x-2y=-8 из 2x+y=1 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Прибавьте 2x к -2x. Члены 2x и -2x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$y+2y=1+8$$

Прибавьте y к 2y.

$$3y=1+8$$

Прибавьте 1 к 8.

$$3y=9$$

Разделите обе части на 3.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в x-y=-4. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-3=-4$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=3$$