Решить 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Найдите x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+3y=6$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$2x=-3y+6$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Подставьте -\frac{3y}{2}+3 вместо x в другом уравнении 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Умножьте 6 на -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Прибавьте -9y к -5y.

$$-14y+18=4$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$-14y=-14$$

Разделите обе части на -14.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в x=-\frac{3}{2}y+3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Прибавьте 3 к -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Система решена.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Чтобы сделать 2x и 6x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 6 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Упростите.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Вычтите 12x-10y=8 из 12x+18y=36 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Прибавьте 12x к -12x. Члены 12x и -12x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$18y+10y=36-8$$

Прибавьте 18y к 10y.

$$28y=36-8$$

Прибавьте 36 к -8.

$$28y=28$$

Разделите обе части на 28.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в 6x-5y=4. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$6x-5=4$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$6x=9$$

Разделите обе части на 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Система решена.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$