Решить 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Найдите k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 7 к обеим частям.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2k^{2}+ak+bk+7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 14.

$$1,14 2,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+14=15 2+7=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 9.

$$a=2 b=7$$

Перепишите 2k^{2}+9k+7 как \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Разложите 2k в первом и 7 в второй группе.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член k+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите k+1=0 и 2k+7=0у.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Вычтите -7 из 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 9 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Прибавьте 81 к -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Решите уравнение k=\frac{-9±5}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$k=-1$$

Решите уравнение k=\frac{-9±5}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Привести дробь \frac{-14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Уравнение решено.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Деление \frac{9}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{9}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{9}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{9}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Прибавьте -\frac{7}{2} к \frac{81}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Коэффициент k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Упростите.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Вычтите \frac{9}{4} из обеих частей уравнения.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$