Решить 2x^2-x-3=0

$$2 { x }^{ 2 } -x-3 = 0$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -6 продукта.

$$1,-6 2,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-3 b=2$$

Перепишите 2x^{2}-x-3 как \left(2x^{2}-3x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки x в 2x^{2}-3x.

$$x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-3=0 и x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -1 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{1±5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{1±5}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 5.

$$x=\frac{6}{4}$$

Привести дробь \frac{6}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±5}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из 1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$2x^{2}-x=3$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{3}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}$$

Разделите -\frac{1}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$