Решить 2x^2-7x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } -7x+5=0$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx+5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-5 b=-2$$

Перепишите 2x^{2}-7x+5 как \left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right)$$

Разложите x в первом и -1 в второй группе.

$$x\left(2x-5\right)-\left(2x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-5\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-5=0 и x-1=0у.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -7 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Прибавьте 49 к -40.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±3}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{7±3}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{7±3}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 3.

$$x=\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{7±3}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Разделите 4 на 4.

$$x=1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-7x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-7x=-5$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Деление -\frac{7}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Прибавьте -\frac{5}{2} к \frac{49}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Прибавьте \frac{7}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$