Решить 2x^2-34x+20=0

$$2 { x }^{ 2 } -34x+20=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{249} + 17}{2} \approx 16,389866919$$

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}\approx 0,610133081$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -34 вместо b и 20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Возведите -34 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 20}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 20.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-160}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1156 к -160.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{996}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 996.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -34, равно 34.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 34 к 2\sqrt{249}.

$$x=\frac{2\sqrt{249}+34}{4}$$

Разделите 34+2\sqrt{249} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{249} из 34.

$$x=\frac{34-2\sqrt{249}}{4}$$

Разделите 34-2\sqrt{249} на 4.

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-34x+20-20=-20$$

Если из 20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-34x=-20$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{20}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{20}{2}$$

Разделите -34 на 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{20}{2}$$

Разделите -20 на 2.

$$x^{2}-17x=-10$$

Разделите -17, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{17}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{17}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{17}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-10+\frac{289}{4}$$

Прибавьте -10 к \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{249}{4}$$

Разложите x^{2}-17x+\frac{289}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{249}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{249}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{\sqrt{249}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{\sqrt{249}}{2}$$

Прибавьте \frac{17}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$