Решить 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -14 вместо b и -54 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Прибавьте 196 к 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Разделите 14+2\sqrt{157} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{157} из 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Разделите 14-2\sqrt{157} на 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Прибавьте 54 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Если из -54 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Вычтите -54 из 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Разделите -14 на 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Разделите 54 на 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Деление -7, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Прибавьте 27 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Коэффициент x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$