Решить 2x^2-14x+2=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+2=0$$

Найдите x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-14x+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -14 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 2}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16}}{2\times 2}$$

Прибавьте 196 к -16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{180}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±6\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+14}{4}$$

Разделите 14+6\sqrt{5} на 4.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 6\sqrt{5} из 14.

$$x=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$$

Разделите 14-6\sqrt{5} на 4.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x+2=0$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-14x+2-2=-2$$

Если из 2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-14x=-2$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{2}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{2}{2}$$

Разделите -14 на 2.

$$x^{2}-7x=-\frac{2}{2}$$

Разделите -2 на 2.

$$x^{2}-7x=-1$$

Деление -7, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Прибавьте -1 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Коэффициент x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$