Решить 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

Найдите x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx+21. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 42 продукта.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-7 b=-6$$

Перепишите 2x^{2}-13x+21 как \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и -3 во второй группе.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-7=0 и x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -13 вместо b и 21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Возведите -13 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Прибавьте 169 к -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Число, противоположное -13, равно 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{13±1}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 13 к 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Привести дробь \frac{14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{13±1}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Разделите 12 на 4.

$$x=3$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

Если из 21 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Разделите -\frac{13}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{13}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Прибавьте -\frac{21}{2} к \frac{169}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Разложите x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Прибавьте \frac{13}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$