Решить 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-40. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-16 b=5$$

Перепишите 2x^{2}-11x-40 как \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Разложите 2x в первом и 5 в второй группе.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-8=0 и 2x+5=0у.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -11 вместо b и -40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Прибавьте 121 к 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Число, противоположное -11, равно 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{11±21}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 11 к 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Разделите 32 на 4.

$$x=8$$

Решите уравнение x=\frac{11±21}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 21 из 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{-10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Прибавьте 40 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Если из -40 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Вычтите -40 из 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Разделите 40 на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Деление -\frac{11}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Прибавьте 20 к \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Прибавьте \frac{11}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$