Решить 2x^2+x-7=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-7=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{57} - 1}{4} \approx 1,637458609$$

$$x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}\approx -2,137458609$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 1 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 56.

$$x=\frac{-1±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{57}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{57}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{57}.

$$x=\frac{\sqrt{57}-1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{57}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{57} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{57}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$2x^{2}+x=7$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{7}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{7}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{57}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{57}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{57}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{57}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}$$