Решить 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Найдите x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Вычтите 30 из -6, чтобы получить -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-36. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-8 b=9$$

Перепишите 2x^{2}+x-36 как \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Разложите 2x в первом и 9 в второй группе.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и 2x+9=0у.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Если из 30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Вычтите 30 из -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 1 вместо b и -36 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±17}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Разделите 16 на 4.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-1±17}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Привести дробь \frac{-18}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Если из -6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Вычтите -6 из 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Разделите 36 на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Прибавьте 18 к \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$