Решить 2x^2+x-528=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16,5$$

$$x=16$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-528. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -1056 продукта.

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-32 b=33$$

Перепишите 2x^{2}+x-528 как \left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right).

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

Вынесите за скобки 2x в первой и 33 во второй группе.

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-16, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-16=0 и 2x+33=0.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 1 вместо b и -528 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -528.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 4224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 4225.

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±65}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 65.

$$x=\frac{64}{4}$$

Разделите 64 на 4.

$$x=16$$

Решите уравнение x=\frac{-1±65}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 65 из -1.

$$x=-\frac{66}{4}$$

Привести дробь \frac{-66}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{33}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Прибавьте 528 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

Если из -528 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

Вычтите -528 из 0.

$$2x^{2}+x=528$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

Разделите 528 на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

Разделите \frac{1}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

Прибавьте 264 к \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$