Решить 2x^2+x-1=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-1=0$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-1 b=2$$

Перепишите 2x^{2}+x-1 как \left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки x в 2x^{2}-x.

$$x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и x+1=0у.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 1 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±3}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Привести дробь \frac{2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±3}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из -1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$2x^{2}+x=1$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{1}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$