Решить 2x^2+6x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +6x-14=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{37} - 3}{2} \approx 1,541381265$$

$$x=\frac{-\sqrt{37}-3}{2}\approx -4,541381265$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+6x-14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 6 вместо b и -14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -14.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+112}}{2\times 2}$$

Прибавьте 36 к 112.

$$x=\frac{-6±\sqrt{148}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 148.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{37}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{37}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{37}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 2\sqrt{37}.

$$x=\frac{2\sqrt{37}-6}{4}$$

Разделите -6+2\sqrt{37} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{37}-3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{37}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{37} из -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{37}-6}{4}$$

Разделите -6-2\sqrt{37} на 4.

$$x=\frac{-\sqrt{37}-3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{37}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{37}-3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x-14=0$$

Прибавьте 14 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+6x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Если из -14 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+6x=-\left(-14\right)$$

Вычтите -14 из 0.

$$2x^{2}+6x=14$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{14}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{14}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$x^{2}+3x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x^{2}+3x=7$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=7+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 7 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{37}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{37}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{37}-3}{2}$$