Решить 2x^2+5x-817=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-817 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{43}{2} = -21\frac{1}{2} = -21,5$$

$$x=19$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-817. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=2\left(-817\right)=-1634$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -1634.

$$-1,1634 -2,817 -19,86 -38,43$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+1634=1633 -2+817=815 -19+86=67 -38+43=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-38 b=43$$

Перепишите 2x^{2}+5x-817 как \left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right).

$$\left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right)$$

Разложите 2x в первом и 43 в второй группе.

$$2x\left(x-19\right)+43\left(x-19\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-19, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-19\right)\left(2x+43\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-19=0 и 2x+43=0у.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 5 вместо b и -817 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -817.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+6536}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 6536.

$$x=\frac{-5±\sqrt{6561}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 6561.

$$x=\frac{-5±81}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-5±81}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±81}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 81.

$$x=\frac{76}{4}$$

Разделите 76 на 4.

$$x=19$$

Решите уравнение x=\frac{-5±81}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 81 из -5.

$$x=-\frac{86}{4}$$

Привести дробь \frac{-86}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{43}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Прибавьте 817 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+5x-817-\left(-817\right)=-\left(-817\right)$$

Если из -817 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-817\right)$$

Вычтите -817 из 0.

$$2x^{2}+5x=817$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{817}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{817}{2}$$

Деление \frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{817}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{817}{2}+\frac{25}{16}$$

Прибавьте \frac{817}{2} к \frac{25}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{6561}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{6561}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6561}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{81}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{81}{4}$$

Вычтите \frac{5}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$