Решить 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-168. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-16 b=21$$

Перепишите 2x^{2}+5x-168 как \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

Разложите 2x в первом и 21 в второй группе.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-8=0 и 2x+21=0у.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 5 вместо b и -168 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 1369.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±37}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

Разделите 32 на 4.

$$x=8$$

Решите уравнение x=\frac{-5±37}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 37 из -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

Привести дробь \frac{-42}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Прибавьте 168 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Если из -168 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

Вычтите -168 из 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

Разделите 168 на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Деление \frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Прибавьте 84 к \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Вычтите \frac{5}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$