Решить 2x^2+5x+3=20

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1,922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4,422144385$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

Если из 20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

Вычтите 20 из 3.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 5 вместо b и -17 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 136.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к \sqrt{161}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{161} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

Вычтите 3 из 20.

$$2x^{2}+5x=17$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

Деление \frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Прибавьте \frac{17}{2} к \frac{25}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

Вычтите \frac{5}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$