Решить 2x^2+3x+7=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+7=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}\approx -0.75+1.71391365i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}\approx -0.75-1.71391365i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 3 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 7}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к -56.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-47}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -47.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{47} из -3.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+3x+7-7=-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+3x=-7$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Разделите \frac{3}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{9}{16}$$

Прибавьте -\frac{7}{2} к \frac{9}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{47}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{47}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{47}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{47}i}{4}$$

Вычтите \frac{3}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$