Решить 2sqrt{9x}-6=10-2sqrt{x}

$$2 \sqrt { 9 x } - 6 = 10 - 2 \sqrt { x }$$

Найдите x

$$x=4$$

Действия по решению

Вычтите -6 из обеих частей уравнения.

$$2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(2\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Разложите \left(2\sqrt{9x}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$4\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{9x} в степени 2 и получите 9x.

$$4\times 9x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Перемножьте 4 и 9, чтобы получить 36.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}+12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Вычтите \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2} из обеих частей уравнения.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}=12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Вычтите 12\left(10-2\sqrt{x}\right) из обеих частей уравнения.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4x\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 100-40\sqrt{x}+4x, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$36x-100+40\sqrt{x}-4x-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Объедините 36x и -4x, чтобы получить 32x.

$$32x-100+40\sqrt{x}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Чтобы умножить -12 на 10-2\sqrt{x}, используйте свойство дистрибутивности.

$$32x-100+40\sqrt{x}-120+24\sqrt{x}=36$$

Вычтите 120 из -100, чтобы получить -220.

$$32x-220+40\sqrt{x}+24\sqrt{x}=36$$

Объедините 40\sqrt{x} и 24\sqrt{x}, чтобы получить 64\sqrt{x}.

$$32x-220+64\sqrt{x}=36$$

Прибавьте 220 к обеим частям.

$$32x+64\sqrt{x}=36+220$$

Чтобы вычислить 256, сложите 36 и 220.

$$32x+64\sqrt{x}=256$$

Вычтите 32x из обеих частей уравнения.

$$64\sqrt{x}=256-32x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(64\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Разложите \left(64\sqrt{x}\right)^{2}.

$$64^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Вычислите 64 в степени 2 и получите 4096.

$$4096\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$4096x=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-32x+256\right)^{2}.

$$4096x=1024x^{2}-16384x+65536$$

Вычтите 1024x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4096x-1024x^{2}=-16384x+65536$$

Прибавьте 16384x к обеим частям.

$$4096x-1024x^{2}+16384x=65536$$

Объедините 4096x и 16384x, чтобы получить 20480x.

$$20480x-1024x^{2}=65536$$

Вычтите 65536 из обеих частей уравнения.

$$20480x-1024x^{2}-65536=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-1024x^{2}+20480x-65536=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1024 вместо a, 20480 вместо b и -65536 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{20480^{2}-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Возведите 20480 в квадрат.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Умножьте -4 на -1024.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400+4096\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Умножьте 4096 на -65536.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-268435456}}{2\left(-1024\right)}$$

Прибавьте 419430400 к -268435456.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{150994944}}{2\left(-1024\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 150994944.

$$x=\frac{-20480±12288}{2\left(-1024\right)}$$

Умножьте 2 на -1024.

$$x=\frac{-20480±12288}{-2048}$$

Решите уравнение x=\frac{-20480±12288}{-2048} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -20480 к 12288.

$$x=-\frac{8192}{-2048}$$

Разделите -8192 на -2048.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-20480±12288}{-2048} при условии, что ± — минус. Вычтите 12288 из -20480.

$$x=-\frac{32768}{-2048}$$

Разделите -32768 на -2048.

$$x=16$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=16$$

Подставьте 4 вместо x в уравнении 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Упростите. Значение x=4 удовлетворяет уравнению.

$$6=6$$

Подставьте 16 вместо x в уравнении 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 16}-6=10-2\sqrt{16}$$

Упростите. Значение x=16 не соответствует уравнению.

$$18=2$$

Подставьте 4 вместо x в уравнении 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Упростите. Значение x=4 удовлетворяет уравнению.

$$6=6$$

Уравнение 2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6 имеет уникальное решение.

$$x=4$$